Xấp xỉ theo số hữu tỷ: Từ Liouville đến Roth

Sử dụng thuật ngữ siêu việt để chỉ một đối tượng không phải là đại số có từ thế kỷ XVII, khi Gottfried Leibniz chứng minh rằng hàm sin không phải là hàm đại số.[1] Câu hỏi liệu một số loại số nhất định có thể là siêu việt đã xuất hiện từ năm 1748 [2] khi Euler khẳng định[3] rằng số loga b không phải là đại số với các số hữu tỷ a và b, với điều kiện b không phải là dạng b = ac với c là một số hữu tỷ.

Khẳng định của Euler đã không được chứng minh cho đến thế kỷ XX, nhưng gần 100 năm sau tuyên bố của ông Joseph Liouville đã cố gắng chứng minh sự tồn tại của những con số không phải là đại số, điều mà cho đến lúc đó vẫn chưa được biết chắc chắn. Các bài báo gốc của ông về vấn đề này vào những năm 1840 đã phác thảo ra các đối số bằng cách sử dụng các phân số liên tục để xây dựng các số siêu việt. Sau đó, vào những năm 1850, ông đã đưa ra một điều kiện cần thiết cho một số là đại số, và do đó là điều kiện đủ để một số có thể là số siêu việt.[4] Tiêu chí siêu việt này cũng không đủ mạnh để trở nên cần thiết và thực sự nó không phát hiện ra rằng số e là số siêu việt. Nhưng nghiên cứu của Lioville đã cung cấp một lớp số siêu việt lớn hơn, hiện được gọi là các số Liouville để vinh danh ông.

Tiêu chí của Liouville về cơ bản nói rằng các số đại số có thể được xấp xỉ rất tốt bằng các số hữu tỷ. Vì vậy, nếu một số có thể được xấp xỉ rất tốt bằng các số hữu tỷ thì nó phải siêu việt. Ý nghĩa chính xác của "xấp xỉ rất tốt" trong công việc của Liouville liên quan đến một số mũ nhất định. Ông đã chỉ ra rằng nếu α là một số đại số với bậc d ≥ 2 và ε là bất kỳ số nào lớn hơn 0, thì biểu thức

| α − p q | < 1 q d + ε {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}

có thể được thỏa mãn chỉ bằng hữu hạn các số hữu tỉ p/q. Sử dụng điều này như một tiêu chí cho sự siêu việt không phải là chuyện dễ, vì người ta phải kiểm tra xem liệu có vô số giải pháp p/q cho mỗi d ≥ 2 hay không.